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山本一彰(Takaaki Yamamoto)

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AWS の機能を GCP のサービスアカウントで認証して利用する

概要

Google Cloud (GCP) のサービスアカウントのトークンを用いて認証し、AWS の機能を利用してみた。

背景

AWS を AWS の外から利用するには、IAM User とそれに付随するアクセスキーを発行して認証することが 簡単かと思われる。しかしながら、アクセスキーは長期的な認証情報のため、 セキュリティ面でのリスクが高く、なるべく用いることは避けたい。

今回、GCP のサービスアカウントを経由して認証することを試みた。 この方式であれば、GCP 内のメタデータサーバからの一時的なトークンによる認証、 もしくは個人の Google アカウントによる認証を用いることができる。 これによって、アクセスキーを用いる必要がなくなり、セキュリティリスク (e.g. クレデンシャルの漏洩) や運用コスト (e.g. 鍵のローテーション) を低減することできる。

目標

今回は個人に紐づく Google アカウント から Google のサービスアカウント (以下、GSA とする) の一時トークンを生成し、AWS のトークンを取得し、 aws コマンドを実行する、ということを試みる。

Google サービスアカウント(GSA)の準備

GSA aws-user を作成する

gcloud iam service-accounts create aws-user
gcloud iam service-accounts describe aws-user@{{ google_project_id }}.iam.gserviceaccount.com --format=json
{
  "email": "aws-user@{{ google_project_id }}.iam.gserviceaccount.com",
  "etag": "{{ etag }}",
  "name": "projects/{{ google_project_id }}/serviceAccounts/aws-user@{{ google_project_id }}.iam.gserviceaccount.com",
  "oauth2ClientId": "{{ aws-user_client_id }}",
  "projectId": "{{ project_id }}",
  "uniqueId": "{{ gsa_unique_id }}"
}

GSA に対して iam.serviceAccountsTokenCreator のロールを Google アカウントに付与する

gcloud iam service-accounts add-iam-policy-binding \
  aws-user@{{ google_project_id }}.iam.gserviceaccount.com \
  --member=user:{{ google_account_id }} \
  --role=roles/iam.serviceAccountTokenCreator

AWS Web Identity Federation の設定を行う

OIDC プロバイダ accounts.google.com の jwks 配信サーバのTLS証明書の fingerprint を取得する

https://docs.aws.amazon.com/ja_jp/IAM/latest/UserGuide/id_roles_providers_create_oidc_verify-thumbprint.html

下記の内容は上記の AWS ドキュメントに記載されている内容である。

curl https://accounts.google.com/.well-known/openid-configuration | jq -r .jwks_uri

↑のようにして account.google.com の jwks 配信サーバの URL ↓を取得する。

https://www.googleapis.com/oauth2/v3/certs

エンドポイントは https://www.googleapis.com であることがわかったので、 このhttpsサーバで用いられている証明書の fingerprint を確認する。

openssl s_client -showcerts -servername www.googleapis.com -connect www.googleapis.com:443 < /dev/null

↑を実行すると↓のような文字列が確認できるが、www.googleapis.com は中間認証局 GTS CA 1O1 とルート認証局 GlobalSign によって署名されていることがわかる。

depth=2 OU = GlobalSign Root CA - R2, O = GlobalSign, CN = GlobalSign
verify return:1
depth=1 C = US, O = Google Trust Services, CN = GTS CA 1O1
verify return:1
depth=0 C = US, ST = California, L = Mountain View, O = Google LLC, CN = upload.video.google.com
verify return:1

https://docs.aws.amazon.com/ja_jp/IAM/latest/UserGuide/id_roles_providers_create_oidc_verify-thumbprint.html

複数の証明書が表示される場合は、表示される最後 (コマンド出力の最後) の証明書を見つけます。

今回は中間認証局 GTS CA 1O1 の証明書が最後に出力されていることから、 中間認証局 GTS CA 1O1 の証明書の fingerprint を AWS 側に登録する。

depth=0

-----BEGIN CERTIFICATE-----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-----END CERTIFICATE-----

depth=1

-----BEGIN CERTIFICATE-----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==
-----END CERTIFICATE-----

中間認証局の証明書を /tmp/depth_1.pem として保存する。

openssl x509 -fingerprint < /tmp/depth_1.pem

↑の openssl コマンドで fingerprint ↓を得る。

SHA1 Fingerprint=DF:E2:07:0C:79:E7:FF:36:A9:25:FF:A3:27:FF:E3:DE:EC:F8:F9:C2
echo DF:E2:07:0C:79:E7:FF:36:A9:25:FF:A3:27:FF:E3:DE:EC:F8:F9:C2 | tr -d ":" | tr "[[:upper:]]" "[[:lower:]]"

実際に利用する値はコロンを除いた小文字になるため、↑で加工した値 ↓ を利用する。

dfe2070c79e7ff36a925ffa327ffe3deecf8f9c2

OIDC プロバイダ accounts.google.com の作成

前項で得た fingerprint を用いて OIDC プロバイダ accounts.google.com を作成する。

aws iam create-open-id-connect-provider \
  --url https://accounts.google.com \
  --thumbprint-list dfe2070c79e7ff36a925ffa327ffe3deecf8f9c2

サービスアカウントのUniqueIDをIdentity Proversのaudienceに追加する

aws iam add-client-id-to-open-id-connect-provider \
  --open-id-connect-provider-arn "arn:aws:iam::{{ aws_account_id }}:oidc-provider/accounts.google.com" \
  --client-id {{ gsa_unique_id }}

AssumeRoleするためのIAM ロールを作成する

gsa-aws-user.json

{
    "Version": "2012-10-17",
    "Statement": [
        {
            "Effect": "Allow",
            "Principal": {
                "Federated": "arn:aws:iam::{{ aws_account_id }}:oidc-provider/accounts.google.com"
            },
            "Action": "sts:AssumeRoleWithWebIdentity",
            "Condition": {
                "StringEquals": {
                    "accounts.google.com:aud": "{{ gsa_unique_id }}",
                    "accounts.google.com:sub": "{{ gsa_unique_id }}",
                    "accounts.google.com:oaud": "arn:aws:iam::{{ aws_account_id }}:oidc-provider/accounts.google.com",
                    "accounts.google.com:email": "aws-user@{{ google_project_id }}.iam.gserviceaccount.com"
                }
            }
        }
    ]
}
aws iam create-role --role-name gsa-aws-user --assume-role-policy-document file://gsa-aws-user.json

GSAのトークンを用いてawsコマンドを実行できるようにする

https://docs.aws.amazon.com/ja_jp/cli/latest/userguide/cli-configure-sourcing-external.html

~/.aws/configcredential_process という仕組みを用い、 GSA のトークンからAWSの認証情報を作成するための設定を行う。

gsa-oidc.sh を配置する

下記の gsa-oidc.sh を PATH が通っている場所に配置する。

#!/bin/bash
set -eu -o pipefail
# ${1}:
#   gcloud configuration name.
#   (if you want to use current configuration, set empty "" string.)
# ${2}:
#   Google Cloud service account's email.
# ${3}:
#   AWS account id.
# ${4}:
#   AWS role name.

GCLOUD_CONFIGURATION=${1}
GSA_EMAIL=${2}
AWS_ACCOUNT=${3}
AWS_ROLE_NAME=${4}

GCLOUD="gcloud --configuration=${GCLOUD_CONFIGURATION}"
GCLOUD_ACCOUNT=$(${GCLOUD} config get-value account)
AUDIENCE="arn:aws:iam::${AWS_ACCOUNT}:oidc-provider/accounts.google.com"
GSA_ID_TOKEN=$(${GCLOUD} --impersonate-service-account=${GSA_EMAIL} auth print-identity-token --audiences=${AUDIENCE} --include-email)

AWS_ROLE_ARN="arn:aws:iam::${AWS_ACCOUNT}:role/${AWS_ROLE_NAME}"
AWS_ROLE_SESSION_NAME="gsa-oidc-${GCLOUD_ACCOUNT}"

aws --profile gsa-oidc sts assume-role-with-web-identity \
  --role-arn "${AWS_ROLE_ARN}" \
  --role-session-name "${AWS_ROLE_SESSION_NAME}" \
  --web-identity-token "${GSA_ID_TOKEN}" \
  | jq "{Version: 1} + .Credentials"

実行権限を付与しておく。

chmod a+x gsa-oidc.sh

aws-user という名前で gcloud の configuration を作成する

gcloud config configurations create aws-user
gcloud config set project {{ google_project_id }}
gcloud auth login {{ google_account_email }}

~/.aws/config で gsa-oidc.sh を用いて認証情報を得る設定をする

[profile gsa-oidc]
output = json

[profile gsa-aws-user]
credential_process = gsa-oidc.sh aws-user aws-user@{{ google_project_id }}.iam.gserviceaccount.com {{ aws_account_id }} gsa-aws-user

実行する

aws --profile gsa-aws-user sts get-caller-identity | jq -r .Arn

↑を実行すると↓のような出力を得られる。

arn:aws:sts::{{ aws_account_id }}:assumed-role/gsa-aws-user/gsa-oidc-{{ google_account_email }}

これで AssumeRole を GSA の認証情報を用いて行えることがわかった。

あとはロール aws-user に適切なポリシーを付与すれば、各種 AWS の機能を使えるようになる。

補足

中間認証局 GTS CA 1O1 の証明書の情報を確認する。

openssl x509 -text <<_EOS_
-----BEGIN CERTIFICATE-----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==
-----END CERTIFICATE-----
_EOS_

↑を行うと↓のような出力を得られる。

  :
Validity
    Not Before: Jun 15 00:00:42 2017 GMT
    Not After : Dec 15 00:00:42 2021 GMT
  :

中間認証局の証明書が 2021/12/15 に失効するため、 中間認証局の証明書の fingerprint を更新する仕組みが必要になる。

参考URL

Docker Hub のレート制限を受けないように mirror.gcr.io を使う

概要

Docker Hub のレート制限 が2020/11/01から施行されるようになったらしい。

  • Free plan – anonymous users: 100 pulls per 6 hours
  • Free plan – authenticated users: 200 pulls per 6 hours
  • Pro plan – unlimited
  • Team plan – unlimited

レート制限は Docker Hub からコンテナイメージをダウンロードするクライアント側のグローバル IP アドレスに対して適用されるようなので、同一の IP を使いまわしているオフィスなどでは致命的な状況になることが推測できる。 その制限を回避する方法の一つを紹介する。

回避方法

下記のような対応方法が考えられる。

  • Docker Hub の有料プランを契約し、各サーバもしくは手元の開発環境で認証情報を利用してダウンロードする。
  • 自前でコンテナイメージレジストリをホスティングし、そこを参照するように構成する。
  • ダウンロード元のパブリックIPを分散するために、プロキシを自前で構成する。
  • ミラーレポジトリ mirror.gcr.io を利用する。

それぞれにメリットとデメリットが存在するが、今回は追加の金銭的コストが発生しない 「ミラーレポジトリ mirror.gcr.io を利用する」 方法を紹介する。

この方法には他にもメリットがあり、 既存のアプリケーション周辺の設定(Dockerfile, CI/CD設定) を変更することなく、 Dockerを実行する環境(サーバ, 手元の開発環境)の設定だけを変えれば対応できるため、 比較的簡単に導入できると思っている。

ミラーリポジトリ mirror.gcr.io を利用するための設定

Linux(Ubuntu) の場合

/etc/docker/daemon.json に mirror.gcr.io を使うような設定を行い、 docker デーモンを再起動すればよい。

/etc/docker/daemon.json

{
  "registry-mirrors": ["https://mirror.gcr.io"]
}

上記のファイルを編集した上で、docker デーモンを再起動する。

$ sudo systemctl restart docker

Docker for Mac の場合

macOS の場合も基本的には上述の Linux(Ubuntu) と同じ。 macOS の画面の上部のツールバーに表示されている Docker のアイコンをクリックし、 PreferenceDocker Engine と辿り、 下図のように "registry-mirrors": ["https://mirror.gcr.io"] を追加し、 Apply & Restart を行えば良い。

Docker for Mac設定画面

確認方法

$ tcpdump -nni en0 host $(dig mirror.gcr.io +short | head -n 1)

実際に mirror.gcr.io 経由でダウンロードが行われているかどうかは ↑のコマンドを打った状態で、別のターミナルで↓を打つ。

$ docker pull library/busybox

このとき、パケットが表示されれば mirror.gcr.io を利用していることを示している。

参考

二次形式の平方完成

概要

強凸二次形式の最小元と最小値を求めるために、二次形式の平方完成をしました。

平方完成(正則の場合)

まずは元の式と平方完成した後の式を比較します。 \(Q\) は対称行列で、 \(q\) は一次式の係数ベクトルです。

\[ \begin{align*} f(x) &= x^T Q x + q^T x \text{ (二次形式)}\\ &= (x + z)^T Q (x + z) + c \text{ (平方完成後)}\\ &= x^T Q x + 2 z^TQx + z^TQz + c \end{align*} \]

係数を比較することによって以下の等式が成り立ちます。

\[ \begin{align*} 2 z^TQ &= q^T \\ z^TQz + c &= 0 \end{align*} \]

\(|Q| \neq 0\) (逆行列が存在) と仮定すると、 以下のようにzとcが求まります。

\[ \begin{align*} z &= \frac{1}{2} Q^{-1} q \\ c &= -z^TQz = -\frac{1}{4} q^T Q^{-1} q \end{align*} \]

\(Q \succ 0\) の場合、最小元と最小値は以下のように表されます。

\[\begin{align*} \text{(最小元) } &= -z = -\frac{1}{2} Q^{-1} q \\ \text{(最小値) } &= c = -z^TQz = -\frac{1}{4} q^T Q^{-1} q \end{align*}\]